算術の基本定理

算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、fundamental theorem of arithmetic）または素因数分解の一意性（そいんすうぶんかいのいちいせい、unique factorization theorem）は、「全ての自然数は素数の積として（積の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」という算術（初等整数論）における定理である。例えば は と素因数分解され、素数の順序を無視して、これ以外の素数の積として表すことはできない。算術の基本定理の主張が、任意の自然数について「素数の積に分解される（素因数分解の存在）」という主張と「素因数分解があれば一意に決まる（分解の一意性）」という主張の大きく 2 つの部分からなっていることに留意すべきである。なぜならば、分解の存在は比較的素直に示せるのに対して、一意性の証明はそれよりも多少高度な論証を要するからである。一意性の証明にはいくつかの方法があるが、以下の事実（ユークリッドの補題）を用いることが多い。また、素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。そして通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べて、大きいものは最後にする。この定理の整数の場合への自然な一般化は「 以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である（この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる）。同様の主張はもっと一般の環 (数学)|環などにおいても（成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で）意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。