アーンショーの定理

アーンショーの定理（アーンショーのていり、Earnshaw's theorem）は、任意の電荷のない領域において静電場が存在するとき、その領域に荷電粒子をおいた場合、粒子は安定なつり合い状態を維持できないというものである。名称はによる。これは電位 &phi;（スカラー量）が、先の任意の領域で、ラプラス方程式: <math> \\Delta \\phi = 0 </math>を満たす調和関数であるとき、その領域内で電位 &phi; は極大、極小を持たないということ（ただし、領域の境界は除く。また鞍点の存在は可能）を意味する。右辺が値を持つ場合はポアソン方程式と呼ばれ、この場合は領域内で &phi; の極大値が許される。この定理は、静電場だけでなく磁石と磁性体のみからなる静磁場でも成り立つ。すなわち、アンペールの法則では磁場 <math>\\vec</math> の周回積分が積分路を貫く電流 <math>\\mu_0 \\vec</math> に等しくなるが、巨視的電流が存在しない系では磁場: <math>\\vec = \\frac{\\vec}-\\vec</math>はスカラポテンシャルを持ち、ラプラス方程式を満足する。