積分差分方程式

数学の分野における積分差分方程式（せきぶんさぶんほうていしき、integrodifference equation）とは、ある関数空間上の漸化式で、次のような形状で表されるもののことを言う。:<math> n_{t+1}(x) = \\int_{\\Omega} k(x, y)\\, f(n_t(y))\\, dy. </math>ここで <math>\\\\,</math> はその関数空間上の関数列で、<math>\\Omega\\,</math> はそれらの定義域である。応用上の多くの場面では、任意の <math>y\\in\\Omega\\,</math> に対して <math>k(x,y)\\,</math> は <math>\\Omega\\,</math> 上の確率密度関数であるとされる。ここで上述の定義では、<math>n_t</math> はベクトル値となることもあり、その場合には <math>\\</math> の各成分は対応するスカラー値の積分差分方程式となることに注意されたい。積分差分方程式は、数理生物学、とりわけの分野において、個体群のや成長をモデル化するために幅広く用いられている。そのような場合、<math>n_t(x)</math> は時間 <math>t</math> における位置 <math>x</math> での個体サイズあるいは密度を表し、<math>f(n_t(x))</math> は位置 <math>x</math> での局所的な個体群成長を表し、<math>k(x,y)</math> は点 <math>y</math> から点 <math>x</math> への移動確率で、しばしば分散核（dispersal kernel）と呼ばれる。積分差分方程式は、多くの節足動物や一年生植物を含む個体群をモデル化する際に最もよく用いられている。しかし、世代が重ならない機構を持つのであれば、多化性個体群をモデル化する際にも積分差分方程式を用いることが出来る。そのような場合、<math>t</math> の単位は年とは限らず、繁殖の間の時間増加を表すために用いられる。