フェンシェルの双対性定理

数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、Fenchel's duality theorem）は、の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。&fnof; を R 上の真凸函数とし、g を R を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、:<math>\\min_x ( f(x)-g(x) ) = \\max_p ( g_\\star(p)-f^\\star(p)) \\,</math>が成り立つ。ここで &fnof; は &fnof; の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g_&nbsp;* は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。:<math>f^ \\left( x^ \\right) := \\sup \\left \\{ \\left. \\left\\langle x^ , x \\right\\rangle - f \\left( x \\right) \\right| x \\in \\mathbb{R}^n \\right\\}</math>:<math>g_ \\left( x^ \\right) := \\inf \\left \\{ \\left. \\left\\langle x^ , x \\right\\rangle - g \\left( x \\right) \\right| x \\in \\mathbb{R}^n \\right\\}</math>